Administra el almacenamiento de fotos y videos - Apple Support
El iPhone maneja un sistema de permisos muy estricto por seguridad y privacidad. Si una aplicación (como Instagram, Snapchat, o Facebook) no tiene permiso explícito para escribir en tu carrete, las fotos simplemente no se guardarán.
Si nada funciona, puede ser un problema del hardware o de la versión de iOS. Entonces toca contactar con Soporte técnico de Apple.